Le concept de plus grand commun diviseur (PGCD), également connu sous le nom de plus grand facteur commun, fait référence au plus grand nombre qui peut diviser deux ou plusieurs entiers sans laisser de reste. Dans ce cas, nous cherchons à trouver le PGCD des nombres 12 et 18.
Pour commencer, décomposons le processus en étapes gérables. Tout d'abord, identifions les facteurs de chaque nombre. Les facteurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Pendant ce temps, les facteurs de 18 incluent 1, 2, 3, 6, 9 et 18. En comparant les deux ensembles de facteurs, nous pouvons facilement identifier les nombres qui apparaissent dans les deux listes.
Les facteurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6. Le plus grand d'entre eux est 6, ce qui indique qu'il s'agit du plus grand nombre par lequel 12 et 18 peuvent être divisés sans donner de fraction.
Une autre méthode pour trouver le PGCD consiste à utiliser la factorisation en nombres premiers des deux nombres. Pour 12, les facteurs premiers sont 2 × 2 × 3 (qui peut également être exprimé sous la forme 2² × 3). Pendant ce temps, 18 se factorise en 2 × 3 × 3 ou 2 × 3². Pour déterminer le PGCD, nous identifions les plus petites puissances de tous les facteurs premiers communs. Les deux nombres ont le facteur premier 2 et 3. La plus faible puissance de 2 entre les deux nombres est 2¹, et pour 3, c'est 3¹. Ainsi, nous multiplions ceux-ci : 2¹ × 3¹ = 2 × 3 = 6.
Ce PGCD de 6 peut être utile dans diverses situations mathématiques, telles que la simplification de fractions, où réduire une fraction comme 12/18 peut nous mener à la forme la plus simple en divisant à la fois le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. En simplifiant 12/18, nous obtenons 2/3, car les deux nombres réduits par 6 donnent respectivement 2 et 3.
En résumé, à travers l'examen des facteurs et l'utilisation de la factorisation, nous pouvons confirmer que le plus grand commun diviseur de 12 et 18 est en effet 6. Ce concept est significatif en théorie des nombres et a diverses applications en mathématiques, y compris dans l'algèbre et la simplification des fractions.